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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1: Funciones Reales

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8. Trace el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas. Determine en cada caso el conjunto imagen.
d) $f(x)=-(x-5)^{2}$

Respuesta

Vamos a seguir con esta otra función cuadrática, siguiendo el esquema que vimos en la clase y que ya refrescamos en el item a)

$f(x)=-(x-5)^{2}$

Una manera de encarar esta cuadrática es desarrollando ese cuadrado para llevarla a la forma polinómica, que es la clásica de siempre con la forma $y= ax^2 + bx + c$

¿Te acordás cómo hacíamos eso? Usamos que $(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2$

En este caso nos quedaría:

$f(x) = - [x^2 - 2\cdot x \cdot 5 + 5^2]$ $f(x) = - [x^2 - 10x + 25]$

Distribuimos el signo $-$ y ya estamos:

$f(x) = -x^2 +10x -25$

Perfecto, entonces ahora vemos claramente que para esta cuadrática $a = -1$, $b=10$ y $c=-25$.

1. La parábola tiene concavidad hacia abajo, es decir, es una "carita triste" (ya que $a=-1$, es negativo) 2. Buscamos las raíces resolviendo \(f(x) = 0\):

$-x^2 +10x -25 = 0$

Si aplicamos la fórmula resolvente en este caso, con $a = -1$, $b=10$ y $c=-25$, vemos que $f$ tiene una única raíz en $x=5$

(Si elegías la expresión original para igualar a cero, ahí quedaba todavía más obvio que la única raíz era $x=5$, sin necesidad de hacer ninguna resolvente)

3. Calculamos el vértice. Para el $x$ del vértice planteamos \(x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)}\) $= 5$ . 

Para el $y$ del vértice planteamos \(f(5) = 0\). Por lo tanto, el vértice está en $(5,0)$. 

Listo, ya tenemos todo para graficarla, nos quedaría algo así... 


2024-03-06%2016:50:56_1560336.png

La imagen fijate que va desde $-\infty$ hasta el $y$ del vértice, es decir, es el conjunto $(-\infty,0]$
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Avatar Lu 13 de junio 23:27
Floor, como estas? Tengo una duda, vos al principio de la resolución, cuando estas pasando la función de una forma a otra (a la polinomica clasica) reemplazas a la b por el 5, pero porque es positivo? Si el 5 es negativo no se supone que deberia ser negativo? 
Y aprovecho para hacerte otra pregunta, porque el 5 es la letra b si se supone que deberia ser la c porque no tiene x 😰😰😰 Espero sobrevivir a esto jsjd
Avatar Flor Profesor 14 de junio 09:43
@Lu Hola Lu! Uy nono, me parece que te confundí con las letras... O sea, nosotros por un lado cuando hablamos de una cuadrática escrita en su forma polinómica decimos que...

$ax^2 + bx + c$

Donde estamos usando a, b y c para referirnos a cualquier número real que podría estar apareciendo ahí 

Ahora, ojo porque cuando yo menciono esto $(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$, esos a y b no son los de la cuadrática -> Esa es la fórmula del cuadrado de un binomio, que de hecho si vos la googleas en general siempre se muestra con a y b, de nuevo, mostrando que ahí donde dice a y b vos podés poner cualquier cosa (lo que aparezca en tu expresión) y te da una herramienta para poder reescribir esas expresiones 

Entonces, cuando acá en la resolución yo digo:

Tengo esta $f(x) = -(x-5)^2$

Voy a usar la fórmula del cuadrado de un binomio para poder reescribir $(x-5)^2$ -> Entonces en este contexto, para aplicar esa fórmula, $a = x$ y $b = 5$, son los de esa fórmula, entonces por eso me queda...

$f(x) = - (x^2 - 10x + 25)$

$f(x) = -x^2 + 10x - 25$

Y ahora cambio el chip, porque ahora si yo quiero encontrar las raíces de este polinomio, pienso en $ax^2 + bx + c$ para poder aplicar la resolvente... Entonces ahora, en este contexto, a = -1, b = 10 y c = -25 y esos son los que uso en mi fórmula resolvente 

Se entiende la diferencia? O sea, a veces hay letras a, b, c que uno las usa en muchas fórmulas o expresiones generales, pero no significan siempre lo mismo, ahí era donde estaba la confusión!! Avisame Lu si con esto quedó más claro! La vas a hacer el cuatri que viene y ya te estás preparando?? 
Avatar Valentina 5 de abril 22:33
Hola Flor que tal? te hago una consulta, en este ejercicio es posible factorizar -x2+10x-25 para sacar las raices directamente o extremos? o si o si hay que usar la formula resolvente?, lo intente hacer pero no me sale 

Avatar Flor Profesor 6 de abril 11:28
@Valentina Hola Valen! Cuando tenés una expresión así de este estilo:

$-x^2 + 10x - 25 = 0$ 

Donde tenés una cuadrática igualada a cero (que tiene "todos" los términos $a$, $b$ y $c$, me refiero a estos -> $ax^2 + bx + c = 0$) tenemos que usar la resolvente para sacar las raíces, no podemos factorizar porque no comparten "nada en común" los tres elementos. 

En cambio, si vos tenés por ejemplo

$-x^2 + 10x = 0$

(es decir, ahora sin "el número suelto", sin $c$), acá si podés elegir hacer la resolvente o sacar factor común $x$

Se ve la diferencia? 

Cuando hagas la resolvente acá:

$-x^2 + 10x - 25 = 0$ 

tené en cuenta que en este caso $a = -1$, $b = 10$ y $c= -25$, es clave no escamitar en paréntesis cuando reemplaces en la fórmula, te la dejo acá para que chequees:

$\frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-25)}}{2 \cdot (-1)}$

$\frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{-2}$

$\frac{-10 \pm 0}{-2} = 5$

Avisame si ahi queda más claro y salió! :)
Avatar Valentina 6 de abril 18:46
@Flor aaa genial, gracias Flor!! 
Avatar tiziana 30 de julio 21:41
Holaa. En este punto la parte que se encuentra el y del vertice no entiendo porque se plantea f(5) = 0. Igualado a cero pense que tenia que volverse a escribir la funcion y reemplazar las x por lo que te dio en la vertice de la x. 
Avatar tiziana 30 de julio 21:54
Por que** y otra duda para el vertice en x que el 5 es positivo. Poniendo -10 me da -5, por que vos pones el - en toda la funcion y no el 10🤨 gracias!
Avatar Flor Profesor 31 de julio 08:55
@tiziana Hola Tizi! Respondo a tus dudas:

1) Para encontrar el $y$ del vértice lo que hacemos es reemplazar $x=5$ (que era el $x$ del vértice) en la $f$... haciendo eso, fijate que nos queda:

$f(5)=-(5-5)^{2} = 0$

O sea, yo ahí puse directamente el resultado que daba hacer $f(5)$, por eso puse únicamente $f(5) = 0$. Pero lo que estamos haciendo es reemplazar $x$ por $5$ y haciendo la cuenta, que en este caso nos da cero.

2) Por otro lado, escribir esto de esta manera:

$x = -\frac{10}{2 \cdot (-1)}$

o escribirlo así:

$x = \frac{-10}{2 \cdot (-1)}$

es exactamente lo mismo, son equivalentes. 

En ambos casos nos termina quedando $\frac{-10}{-2}$ que nos da $5$ 

Avisame porfa si ahora va quedando más claro!
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